Найти каноническое уравнение гиперболы онлайн
Составить каноническое уравнение гиперболы
Составить уравнение гиперболы по фокусам и вершинам
Уравнение гиперболы проходящей через точку (калькулятор)
По действительной оси и эксцентриситету
Как найти каноническое уравнение гиперболы онлайн?
Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат (0;0) и фокусами на оси абсцисс (OX) имеет классический вид. Главная задача при решении — найти значения квадратов полуосей: a² (действительной) и b² (мнимой).
Как найти b, если известно a и эксцентриситет (e)?
Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле e = c / a, где c — половина расстояния между фокусами. Если в условии задачи даны эксцентриситет и действительная полуось (a), алгоритм следующий:
- Находим фокусное расстояние: c = a × e.
- Используем основное соотношение параметров гиперболы: c² = a² + b².
- Выражаем квадрат мнимой полуоси: b² = c² - a².
Наш калькулятор автоматически выполняет эту логику. Просто выберите соответствующий пункт в меню "Что вам известно?" и введите исходные данные.
Гипербола — это геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть постоянная величина, равная 2a. Если фокусы лежат на оси абсцисс и симметричны относительно начала координат, уравнение кривой приводится к каноническому виду.
Вывод канонического уравнения
Пусть точка M(x; y) лежит на гиперболе с фокусами F₁(−c; 0) и F₂(c; 0). Из определения: |r₁ − r₂| = 2a, где r₁ = √((x+c)² + y²), r₂ = √((x−c)² + y²). После алгебраических преобразований и введения замены b² = c² − a² (поскольку c > a) получаем каноническое уравнение гиперболы: x²/a² − y²/b² = 1. В отличие от эллипса, здесь не требуется условие a > b, то есть a может быть меньше b.
Сопряжённая гипербола
Если фокусы расположены на оси OY, получают сопряжённую гиперболу с уравнением y²/b² − x²/a² = 1. Её ветви направлены вверх и вниз. Обе гиперболы имеют одни и те же асимптоты: y = ±(b/a)·x.
Основные элементы гиперболы
| Элемент | Формула / Значение |
|---|---|
| Каноническое уравнение | x²/a² − y²/b² = 1 |
| Вершины | (±a; 0) |
| Фокусы | (±c; 0), где c² = a² + b² |
| Действительная ось | 2a (по оси OX) |
| Мнимая ось | 2b (по оси OY) |
| Асимптоты | y = ±(b/a)·x |
| Эксцентриситет | ε = c/a > 1 |
| Директрисы | x = ±a/ε = ±a²/c |
| Фокальные радиусы | r₁ = |εx + a|, r₂ = |εx − a| |
Пример приведения к каноническому виду
Дано уравнение 5x² − 4y² = 20. Делим обе части на 20: x²/4 − y²/5 = 1, то есть x²/2² − y²/(√5)² = 1. Здесь a = 2, b = √5, c = √(4 + 5) = 3. Вершины: (±2; 0), фокусы: (±3; 0), асимптоты: y = ±(√5/2)·x.
